Matematica dei campi di direzione

Campo di direzione, modo di rappresentare graficamente le soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine senza risolvere effettivamente l'equazione. L'equazione y ′ = f (x, y) fornisce una direzione, y ′, associata a ciascun punto (x, y) nel piano che deve essere soddisfatto da qualsiasi curva di soluzione che passa attraverso quel punto. Il campo di direzione è definito come la raccolta di piccoli segmenti di linea che passano attraverso vari punti con una pendenza che soddisferà l'equazione differenziale data (vedi grafico) in quel punto. La famiglia reale di curve (soluzioni dell'equazione differenziale) deve avere una direzione in ciascun punto che concorda con quella del segmento di linea del campo di direzione in quel punto,in modo che questo metodo sia utile per acquisire un certo senso del comportamento delle soluzioni nei casi in cui l'equazione è difficile da risolvere o in cui la soluzione è una funzione complicata. Spesso è utile quando si disegna il campo di direzione per determinare le linee o le curve, chiamate isocline, su cui è costante la pendenza dei segmenti del campo di direzione. Ad esempio, nell'equazione y ′ = x + y la pendenza avrà il valore costante k quando k = x + y o quando y = -x + k; cioè, le isocline sono linee rette con una pendenza di -1. Queste linee possono quindi essere abbozzate leggermente per aiutare a costruire il campo di direzione (vedi grafico). La famiglia reale di soluzioni in questo caso è y = aesu cui l'inclinazione dei segmenti del campo di direzione è costante. Ad esempio, nell'equazione y ′ = x + y la pendenza avrà il valore costante k quando k = x + y o quando y = -x + k; cioè, le isocline sono linee rette con una pendenza di -1. Queste linee possono quindi essere abbozzate leggermente per aiutare a costruire il campo di direzione (vedi grafico). La famiglia reale di soluzioni in questo caso è y = aesu cui l'inclinazione dei segmenti del campo di direzione è costante. Ad esempio, nell'equazione y ′ = x + y la pendenza avrà il valore costante k quando k = x + y o quando y = -x + k; cioè, le isocline sono linee rette con una pendenza di -1. Queste linee possono quindi essere abbozzate leggermente per aiutare a costruire il campo di direzione (vedi grafico). La famiglia reale di soluzioni in questo caso è y = ae^x - x - 1 per qualsiasi costante a, come rilevato dai metodi delle equazioni differenziali.