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Trasformazione
Circoli francesi
Desargues faceva parte di circoli intersecanti di matematici francesi del XVII secolo degni dell'Accademia di Platone del IV secolo a.C. o della Casa della Saggezza di Baghdad del IX secolo. Includevano René Descartes (1596–1650) e Pierre de Fermat (1601–1665), inventori della geometria analitica; Gilles Personne de Roberval (1602–75), pioniera nello sviluppo del calcolo; e Blaise Pascal (1623–62), un collaboratore del calcolo e un esponente dei principi enunciati da Desargues.
Geometria proiettiva
Nel lavoro di Desargues si possono distinguere due direzioni principali. Come gli artisti del Rinascimento, Desargues ha ammesso liberamente il punto all'infinito nelle sue dimostrazioni e ha mostrato che ogni serie di linee parallele in una scena (a parte quelle parallele ai lati della tela) dovrebbe proiettarsi come fasci convergenti in qualche punto della "linea di infinito ”(l'orizzonte). Con l'aggiunta di punti all'infinito sul piano euclideo, Desargues poteva incorniciare tutte le sue proposizioni su linee rette senza escludere quelle parallele - che, come le altre, ora si incontrano, sebbene non prima di "infinito". Una questione di più ampia portata derivante dalla prospettiva artistica era la relazione tra le proiezioni dello stesso oggetto da diversi punti di vista e diverse posizioni della tela. Desargues osservò che né le dimensioni né la forma sono generalmente preservate nelle proiezioni, ma la collinearità è, e ha fornito un esempio, forse utile agli artisti, in immagini di triangoli viste da diversi punti di vista. L'affermazione che accompagnava questo esempio divenne nota come teorema di Desargues.
La seconda direzione di Desargues era quella di "semplificare" il lavoro di Apollonio sulle sezioni coniche. Nonostante la sua generalità di approccio, Apollonio doveva dimostrare tutti i suoi teoremi per ogni tipo di conica separatamente. Desargues vide che poteva dimostrarli tutti in una volta e, inoltre, trattando un cilindro come un cono con vertice all'infinito, dimostrando utili analogie tra cilindri e coni. Seguendo la sua guida, Pascal fece la sua sorprendente scoperta che le intersezioni delle tre coppie di lati opposti di un esagono inscritte in una bugia conica su una linea retta. (Vedi figura.) Nel 1685, nelle sue sezioni Conicæ, Philippe de la Hire (1640–1718), un pittore parigino diventato matematico, dimostrò diverse centinaia di proposizioni nella Conica di Apollonio con i metodi efficienti di Desargues.
